O formato deste artigo vai ser um pouco diferente do que tenho feito até agora, e vai ser a primeira de várias publicações nestes moldes: vou introduzir um pequeno problema "de matemática" e depois vou partilhar uma possível solução.

Uma esquematização do processo explicado em baixo

Enunciado do problema

Seja \([ABC]\) um triângulo qualquer. Vamos agora definir uma transformação que podemos aplicar ao triângulo, e que tem como efeito mover um dos vértices do triângulo e deixar os outros dois vértices fixos. Para aplicar a transformação, há que começar por escolher o vértice que se vai mover (vamos supor que queremos mover o vértice \(C\)). Agora consideramos a linha reta que passa por \(C\) e que é paralela a \([AB]\) e escolhemos um ponto \(C'\) nessa reta. O nosso triângulo passa a ser \([ABC']\). Esta transformação pode ser aplicada quantas vezes quisermos, aos vértices que quisermos.
Será que há alguma maneira de, com esta transformação, fazer com que o nosso triângulo cresça e os lados fiquem todos com o dobro do tamanho? Como/porquê?

Pensa um pouco...

Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.

Solução

A resposta à pergunta é não, não há maneira de fazer o nosso triângulo "crescer" e fazer com que os lados passem a ter o dobro do tamanho. Para vermos porque é que isso não é possível, vamos mostrar que a área de um triângulo não muda quando aplicamos a transformação que defini no início. Se fizermos isso - se mostrarmos que a área do triângulo não altera durante as transformações - então mostramos que o nosso triângulo não pode ficar com lados duas vezes maiores, porque isso faria com que a área quadriplicasse.

Seja \([ABC]\) um triângulo e suponhamos, sem perda de generalidade, que vamos aplicar a transformação a \(C\) (para facilitar a visualização, imaginem que \([AB]\) é a base do triângulo e que está na horizontal). Sabemos que \(C\) vai ser movido para um ponto \(C'\) que fica numa linha que passa em \(C\) e que é paralela a \([AB]\). Também sabemos que a fórmula para a área de um triângulo é \(\frac{b \times h}{2}\) onde \(b\) é o comprimento da base do triângulo (que no nosso caso é \([AB]\)) e onde \(h\) é a altura do triângulo. Ora, mudar \(C\) para \(C'\) claramente não muda a base... e na verdade também não muda a altura! A altura \(h\) do triângulo \([ABC]\) é o comprimento do segmento de reta que:

  1. passa em \(C\)
  2. é perpendicular a \([AB]\)

E a altura \(h'\) do triângulo \([ABC']\) é o comprimento do segmento de reta que passa em \(C'\) e é perpendicular a \([AB]\). Mas \(C\) e \(C'\) estão sobre uma linha que é paralela a \([AB]\), o que faz com que \(h\) e \(h'\) sejam iguais; por outras palavras, a altura não mudou e portanto a área do triângulo também não mudou.

Este problema está vagamente relacionado com o problema 36, talvez tenhas interesse em tentar resolver esse também.

Não te esqueças de subscrever a newsletter para receberes os problemas diretamente na tua caixa de correio, e deixa a tua reação a este problema em baixo.

Espero que tenhas aprendido algo novo! Se sim, considera seguir as pisadas dos leitores que me pagaram uma fatia de pizza 🍕. O teu pequeno contributo ajuda-me a manter este projeto grátis e livre de anúncios aborrecidos.

Próximo artigo

Blog Comments powered by Disqus.