Dois amigos estavam aborrecidos e decidiram jogar um jogo! Um jogo matemático com um saco de papel, claro.

a photo of a paper bag

Enunciado

O João e a Maria têm um saco cheio de números inteiros. Na verdade, o saco tem \(10^{10^{10}}\) inteiros, cada um escrito num cartão plastificado. Para além do mais, a soma desses \(10^{10^{10}}\) inteiros é \(0\). À vez, o João e a Maria vão fazer o seguinte:

  • Retirar dois cartões do saco, suponhamos que com os números \(a\) e \(b\);
  • Pôr no saco um cartão novo com o número \(a^3 + b^3\).

Será que há alguma configuração inicial/conjunto de jogadas para os quais, depois de \(10^{10^{10}} - 1\) turnos, o saco contenha apenas um cartão plastificado com o número \(73\)?

Pensa um bocado... e mais importante, tenta mesmo resolver o problema! Deixa um comentário para me contar como correu ;)

Pista: a resposta é "não"... Porquê?

Pista: procura uma invariante do jogo! Ou seja, procura alguma propriedade do jogo que nunca mude com as jogadas do João e da Maria...

Solução

Podes encontrar a minha proposta de solução aqui, para confirmares a tua resposta.

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