Dois amigos estavam aborrecidos e decidiram jogar um jogo! Um jogo matemático com um saco de papel, claro.

a photo of a paper bag
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Enunciado

O João e a Maria têm um saco cheio de números inteiros. Na verdade, o saco tem \(10^{10^{10}}\) inteiros, cada um escrito num cartão plastificado. Para além do mais, a soma desses \(10^{10^{10}}\) inteiros é \(0\). À vez, o João e a Maria vão fazer o seguinte:

  • Retirar dois cartões do saco, suponhamos que com os números \(a\) e \(b\);
  • Pôr no saco um cartão novo com o número \(a^3 + b^3\).

Será que há alguma configuração inicial/conjunto de jogadas para os quais, depois de \(10^{10^{10}} - 1\) turnos, o saco contenha apenas um cartão plastificado com o número \(73\)?

Pensa um bocado... e mais importante, tenta mesmo resolver o problema! Deixa um comentário para me contar como correu ;)

Pista: a resposta é "não"... Porquê?

Pista: procura uma invariante do jogo! Ou seja, procura alguma propriedade do jogo que nunca mude com as jogadas do João e da Maria...

Solução

(Se encontrares algum problema na solução, por favor faz-me saber na secção de comentários.)

Não, não há nenhuma configuração inicial nem nenhum conjunto de jogadas que nos permita terminar com o número \(73\) no saco. Repara que \(x \equiv x^3 \mod 2\). Isto é, \(x\) tem a mesma paridade que \(x^3\). Vamos assumir que, num dado momento, os números no saco têm soma \(S\). Vou mostrar que a paridade da soma total não altera quando removemos dois números \(a\) e \(b\) e juntamos o número \(a^3 + b^3\); isto é, a invariante de que eu falei é a paridade da soma total dos números no saco:

\[ x \equiv x^3 \mod 2 \implies S \equiv S - a - b + a^3 + b^3 \iff S + a + b \equiv S + a^3 + b^3 \mod 2\]

Portanto não podemos acabar apenas com o \(73\) no saco, já que a soma inicial é par e \(73\) é ímpar.

Questão bónus: encontra uma solução que ainda funcione caso eu diga que quero acabar com \(2\), \(74\) ou \(308\) no saco. Repara que a minha solução já não funciona porque estes números são pares.

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