Quase de certeza que já te cruzaste com uma daquelas publicações no Facebook em que tens uma grelha e a publicação pede para contares o número de quadrados que existem nessa grelha. Quando vais à secção dos comentários, vês que quase todos têm uma resposta diferente... Hoje vamos resolver esse problema de uma vez por todas.

Uma grelha $7 \times 10$ com quadrados pequenos e coloridos.

Enunciado do problema

A imagem em cima representa uma grelha que tem \(7\) linhas e \(10\) colunas. Quantos quadrados estão representados na grelha?

O problema deste artigo não tem nada a ver com teoremas complicados ou provas esquisitas, é apenas sobre encontrar uma maneira sistemática de contar todos os quadrados que existem numa figura como esta... Uma maneira que não consista em desenhar todos os quadrados com o dedo sobre o ecrã enquanto sussurramos a contagem, claro.

Se quiseres algo mais simples como aquecimento, a figura em baixo representa uma grelha \(3\times 3\). Quantos quadrados há nesta?

Uma grelha $3\times 3$ com quadrados pequenos e coloridos.

Pensa um pouco...

Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.

Solução

Vamos contar o número de quadrados nesta grelha 7 por 10:

Uma grelha colorida e quadrada com 7 linhas e 10 colunas.

Este é um tipo de problema que me aparece frequentemente nas redes sociais. Quando espreito a secção dos comentários é raro encontrar duas pessoas que tenham chegado à mesma resposta final, o que significa que muita gente chega a uma resposta errada!

Uma maneira de garantir que não nos enganamos é se descobrirmos qual é a fórmula que dá a resposta certa, em vez de desenharmos os quadrados no ar com a mão enquanto os vamos contando.

Vou partilhar contigo o modo como eu costumo fazer isto: eu costumo olhar para o quadriculado e descubro qual é o maior quadrado que cabe lá dentro. O quadriculado aqui é 7 por 10, portanto o maior quadrado que cabe lá dentro é 7 por 7, tal como o da figura em baixo:

Um quadrado 7 por 7 numa grelha 7 por 10.

Depois, tudo o que é preciso fazer é descobrir quantos quadrados, de cada tamanho, é que cabem na grelha. Este é um raciocínio semelhante ao [deste artigo sobre probabilidades][pokemon]: em vez de resolvermos um problema grande, vamos parti-lo em vários subproblemas e resolver cada um desses à vez. Assim, temos de descobrir quantos quadrados \(1\times 1\) cabem na grelha, quantos \(2\times 2\) cabem, etc, até calcularmos quantos quadrados \(7\times 7\) cabem na grelha.

Por exemplo, numa grelha mais pequena, 3 por 3, há 9 possíveis localizações para o canto superior esquerdo de um quadrado \(1\times 1\), e mostro todas na figura em baixo. Um dos possíveis locais é mostrado com o seu quadrado \(1\times 1\) respetivo.

Uma grelha 3 por 3 com 9 cantos marcados.

Se considerarmos, por exemplo, quadrados \(2\times 2\) em vez de quadrados \(1\times 1\), quantos sítios é que ainda podem ser o canto superior esquerdo do quadrado? Agora que o quadrado é maior, as localizações que estavam mais à direita ou mais em baixo já não servem, porque não têm espaço suficiente para um quadrado \(2\times 2\). Agora só temos 4 localizações úteis, que mostro nesta imagem:

Uma grelha 3 por 3 com 4 cantos marcados.

Tudo o que interessa para este processo é o cálculo de quantas localizações podem conter o canto superior esquerdo do quadrado. Numa grelha \(n \times m\), quantas posições podem ser o canto superior esquerdo de um quadrado \(k\times k\), assumindo que \(k \leq \min(n, m)\)? Ao longo do lado de comprimento \(n\) podemos usar \(n - k + 1\) posições, e ao longo do lado de comprimento \(m\) podemos usar \(m - k + 1\) posições. Se cruzarmos as possibilidades, obtemos \((n-k+1)(m-k+1)\) posições.

Pensa (e vai desenhando enquanto lês) que tens uma linha de comprimento \(n\), dividida em segmentos de tamanho \(1\) (e portanto, dividida em \(n\) segmentos desses). Agora queremos contar quantos segmentos de tamanho \(k\) podem ser desenhados sobre o segmento de tamanho \(n\), assumindo que os segmentos pequenos de tamanho \(k\) têm de estar alinhados com as secções de tamanho \(1\). Deves concluir que há \(n - k + 1\) desses. Por exemplo, se o segmento maior tiver comprimento \(7\) e se tu quiseres desenhar segmentos de tamanho \(4\), vais ver que consegues desenhar \(4\) diferentes, porque \(7 - 4 + 1 = 4\).

Assim, uma grelha \(n \times m\) tem \((n - k + 1)(m - k + 1)\) quadrados de tamanho \(k \times k\).

Agora só nos falta considerar os vários valores possíveis de \(k\), que numa grelha \(7 \times 10\) vão de \(1\) a \(7\). Se \(S(n, m)\) for o número de quadrados numa grelha \(n \times m\), com \(n \leq m\), então temos que

\[ S(n, m) = \sum_{k = 1}^{n} (n-k+1)(m-k+1) ~ .\]

Para o nosso caso, queremos calcular \(S(7, 10)\):

\[ S(7, 10) = (7\times 10) + (6\times 9) + (5\times 8) + (4\times 7) + (3\times 6) + (2\times 5) + (1\times 4) = 224 ~ .\]

Concluímos então que há \(224\) quadrados numa grelha \(7\times 10\), e aqui estão todos eles:

GIF com os 224 quadrados desenhados.

O processo que usámos para contar o número de quadrados na grelha também pode ser usado para contar os retângulos que cabem na grelha. Consegues fazê-lo? Faz-me saber na secção de comentários em baixo!

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