Há uma chave dentro de uma de três caixas, e cada caixa tem uma moeda em cima. Consegues usar as moedas para descobrir em que caixa a moeda está escondida?

Uma fotografia de uma chave, cortesia de Aneta Pawlik no site Unsplash.

Enunciado do problema

Tu e eu somos postos na prisão por motivo nenhum, mas é-nos dada uma oportunidade para saírmos. Eu sou levado para uma sala com três caixas opacas. A chave da nossa cela é posta dentro de uma das três caixas, e depois uma moeda é colocada em cima de cada uma das caixas. Eu posso virar uma única moeda, se quiser, e depois tu entras na sala.

Quando tu entras, nós não podemos comunicar um com o outro, e tu tens de abrir uma caixa. Se abrires a caixa com a chave, nós podemos sair da prisão. Se te enganares, ficamos na prisão para sempre...

Qual é que é a estratégia que tu e eu temos de combinar para que consigas encontrar sempre a chave, a partir da disposição das moedas?

Pensa um pouco...

Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.

Solução

Há várias soluções para este problema, mas a mais simples e elegante (de que eu tenho conhecimento) é a seguinte: vira uma moeda, de tal forma que a caixa com a chave esteja debaixo de uma moeda (cuja face virada para cima é) diferente das outras duas.

Esta solução é interessante porque isto funciona independentemente de como as moedas são dispostas em cima das caixas no início. Se ainda não o tiveres feito, convido-te a tentares mostrar que isto que eu disse funciona.

Se numerares as caixas de \(1\) a \(3\), de tal modo que a caixa com a chave seja a caixa \(1\), então há \(8\) configurações diferentes para as moedas em cima das caixas. No entanto, essas \(8\) configurações não nos interessam! Tal como no “[Problema #021 - prever o lançamento da moeda][p21]”, o que nos interessa são as relações entre as faces das moedas, e não as faces propriamente ditas: interessa-nos o número de caixas cuja moeda têm a face virada para cima igual à moeda da caixa com a chave. Esta frase foi complexa, por isso relê-a se for necessário!

Por exemplo, se a caixa com a chave tiver a moeda com o lado "cara" virado para cima, então uma destas três situações deve ser verdade:

  1. todas as moedas têm o lado "cara" virado para cima.
  2. há duas moedas com o lado "cara" virado para cima, uma em cima da caixa com a chave e outra em cima de uma caixa vazia.
  3. só há uma moeda com o lado "cara" virado para cima, que está em cima da caixa com a chave.

Se estivermos na situação 1., então viramos a moeda em cima da caixa com a chave, para que a sua face virada para cima passe a ser "coroa" (e é a única moeda com "coroa" virada para cima). Se estivermos na situação 2., então viramos a moeda que tem "cara" virada para cima e que está em cima de uma caixa vazia, de tal forma que agora a única moeda com "cara" virada para cima está em cima da caixa com a chave. Se estivermos na situação 3., então não precisamos de fazer nada!

Se a caixa com a chave estiver debaixo de uma moeda com o lado "coroa" virado para cima, então seguimos as instruções que estavam aqui em cima, depois de trocarmos todas as ocorrências da palavra "coroa" por "cara", e vice-versa.

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