Consegues encontrar um triângulo enorme que também é pequeno?
Enunciado do problema
Será que existe um triângulo cuja área é superior à da superfície terrestre (que tem aproximadamente 510 milhões km²) mas cuja soma das três alturas não passa de 1cm?
Pensa um pouco e envia-me a tua solução!
Eu vi este problema no Facebook, [num grupo do núcleo de estudantes de matemática da FCT][nucm-fb].
Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.
Solução
Sim! Há um triângulo que satisfaz estas restrições.
Seja \([ABC]\) o triângulo com lados \(a\), \(b\), \(c\), e que tem alturas respetivas \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\).
Assim sendo, a área do triângulo é
\[ \frac{ah_a}2 = \frac{bh_b}2 = \frac{ch_c}2 ~~~.\]
Das igualdes em cima, concluímos que
\[ \begin{cases} ah_a = ch_c \iff h_a = \frac{ch_c}a \\ bh_b = ch_c \iff h_b = \frac{ch_c}b \end{cases} ~~~.\]
Porque estamos a falar de um triângulo, sabemos que \(c < a + b\). Isto, por sua vez, significa que podemos retirar \(c\) das igualdades anteriores:
\[ h_a = \frac{ch_c}a \leq \frac{(a + b)h_c}{a} ~~~.\]
Se, ainda para mais, o triângulo \([ABC]\) for isósceles com \(a = b\), obtemos
\[ h_a \leq 2h_c ~~~,\]
e, de forma semelhante,
\[ h_b \leq 2h_c ~~~.\]
Agora, tudo o que nos falta é somar as três alturas do triângulo:
\[ h_a + h_b + h_c \leq 2h_c + 2h_c + h_c = 5h_c ~~~.\]
Concluímos, assim, que o nosso triângulo isósceles em \(a\) e \(b\) é tal que a soma das suas três alturas é menor que \(5h_c\), em que \(h_c\) é a altura relativa ao lado diferente dos outros dois. Assim, o que nós podemos fazer é criar um triângulo “comprido” (ou seja, com um valor de \(c\) grande) e que seja “baixo” (ou seja, com um valor de \(h_c\) pequeno), e que satisfaça as restrições do enunciado. De facto, o raciocínio que fizémos demonstra que existem triângulos com áreas arbitrariamente grandes e tais que a soma das suas alturas seja arbitrariamente pequena.
Faz sentido?
Não te esqueças de subscrever a newsletter para receberes os problemas diretamente na tua caixa de correio, e deixa a tua reação a este problema em baixo.
Espero que tenhas aprendido algo novo! Se sim, considera seguir as pisadas dos leitores que me pagaram uma fatia de pizza 🍕. O teu pequeno contributo ajuda-me a manter este projeto grátis e livre de anúncios aborrecidos.
