Consegues encontrar um triângulo enorme que também é pequeno?

Enunciado do problema

Será que existe um triângulo cuja área é superior à da superfície terrestre (que tem aproximadamente 510 milhões km²) mas cuja soma das três alturas não passa de 1cm?

Pensa um pouco e envia-me a tua solução!

Eu vi este problema no Facebook, [num grupo do núcleo de estudantes de matemática da FCT][nucm-fb].

Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.

Solução

Sim! Há um triângulo que satisfaz estas restrições.

Seja \([ABC]\) o triângulo com lados \(a\), \(b\), \(c\), e que tem alturas respetivas \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\).

Assim sendo, a área do triângulo é

\[ \frac{ah_a}2 = \frac{bh_b}2 = \frac{ch_c}2 ~~~.\]

Das igualdes em cima, concluímos que

\[ \begin{cases} ah_a = ch_c \iff h_a = \frac{ch_c}a \\ bh_b = ch_c \iff h_b = \frac{ch_c}b \end{cases} ~~~.\]

Porque estamos a falar de um triângulo, sabemos que \(c < a + b\). Isto, por sua vez, significa que podemos retirar \(c\) das igualdades anteriores:

\[ h_a = \frac{ch_c}a \leq \frac{(a + b)h_c}{a} ~~~.\]

Se, ainda para mais, o triângulo \([ABC]\) for isósceles com \(a = b\), obtemos

\[ h_a \leq 2h_c ~~~,\]

e, de forma semelhante,

\[ h_b \leq 2h_c ~~~.\]

Agora, tudo o que nos falta é somar as três alturas do triângulo:

\[ h_a + h_b + h_c \leq 2h_c + 2h_c + h_c = 5h_c ~~~.\]

Concluímos, assim, que o nosso triângulo isósceles em \(a\) e \(b\) é tal que a soma das suas três alturas é menor que \(5h_c\), em que \(h_c\) é a altura relativa ao lado diferente dos outros dois. Assim, o que nós podemos fazer é criar um triângulo “comprido” (ou seja, com um valor de \(c\) grande) e que seja “baixo” (ou seja, com um valor de \(h_c\) pequeno), e que satisfaça as restrições do enunciado. De facto, o raciocínio que fizémos demonstra que existem triângulos com áreas arbitrariamente grandes e tais que a soma das suas alturas seja arbitrariamente pequena.

Faz sentido?

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