Um empregado de restaurante distribui os pedidos de forma totalmente errada. Será que se consegue girar a mesa para que pelo menos dois pedidos fiquem à frente da pessoa certa?

Um exemplo de uma possível distribuição errada dos pedidos.

Enunciado do problema

Um grupo de pessoas está sentado à volta de uma mesa redonda, à espera dos seus pedidos. Quando a comida chega, os pratos são distribuídos de forma totalmente errada e ninguém recebeu aquilo que tinha pedido.

Será que há sempre uma maneira de girar a mesa para que duas pessoas (ou mais) passem a ter o seu prato à sua frente? Podes começar por testar o caso esquematizado em cima, assumindo que consegues distinguir as cores no boneco (desculpa se não conseguires :/).

Submissões

Parabéns a todos os que conseguiram resolver o problema e, em particular, aos que me enviaram as suas soluções:

  • Attila K., Hungria;
  • Filippo M., Itália;
  • Luís S.;
  • André S..

(A lista não está ordenada.)

Solução

Recebi algumas propostas de solução muito interessantes, mas o que vou partilhar é uma versão daquela que eu acho a solução mais elegante.

Sim, é sempre possível rodar a mesa por forma a que pelo menos duas pessoas fiquem com o pedido certo à sua frente.

Suponhamos que cada pessoa que está sentada à mesa começa por olhar para a sua esquerda e contar o número de pratos a que o seu pedido está.

Por exemplo, se as pessoas estivessem sentadas desta maneira:

Então as contagens seriam:

Se há \(n\) pessoas à mesa, então o número de cada pessoa há de ser um valor inteiro entre \(1\) e \(n - 1\), inclusivé. O número de uma pessoa não pode ser \(0\) porque isso significaria que essa pessoa tinha o seu próprio prato à sua frente, e não pode ser \(n\) ou um número ainda maior porque \(n\) representa uma volta inteira à mesa.

Assim, cada pessoa tem um número que está dentro do conjunto

\[ \{ 1, 2, \cdots, n-1 \} ~~~,\]

mas há um total de \(n\) pessoas e apenas \(n - 1\) opções distintas. Se aplicarmos o princípio do pombal, isto significa que há pelo menos duas pessoas cujo número é igual a \(d\). Desta feita, se movermos a mesa \(d\) lugares no sentido oposto ao dos ponteiros do relógio, então essas pessoas passam a ter o seu pedido à sua frente.

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