Três números diferentes são atribuídos a três amigos. Consegues descobrir quem recebeu que número?

Fotografia de Kelly Neil no Unsplash

Enunciado do problema

A Diana pensou em três números inteiros positivos diferentes e distribuiu-os pelos seus amigos: a Ana, o Bruno e o Carlos. A Diana ainda os informou de que os três números, somados, dão 12, e que o Carlos recebeu o maior número de todos.

Depois, a Diana perguntou aos amigos se sabiam quais eram os números que os outros tinham recebido, e o Bruno disse “Eu sei!”, ao passo que a Ana e o Carlos se mantiveram em silêncio. Depois do Bruno ter dito que sabia os números dos outros, a Ana e o Carlos pensaram mais um pouco e depois também confirmaram que já sabiam os números de todos os outros.

Que número é que recebeu cada um dos amigos?

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  • David H., Taiwan;
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Solução

Para o Bruno saber os números da Ana e do Carlos, o número do Bruno tem de ser grande o suficiente para que só haja um valor possível para o número do Carlos.

Se o Bruno tivesse o número 6, então o Carlos teria de ter pelo menos o 7 e isso faria com que os números dos dois valessem 13, que já é mais que 12 – a soma total dos três números. No entanto, se o número do Bruno for 5, então o Bruno sabe que o Carlos só pode ter um 6 (se o Carlos tivesse 7 ou mais, então o Bruno e o Carlos, juntos, teriam 12 ou mais) e portanto a Ana tem de ter o 1.

Assim, concluímos que o Bruno pode adivinhar os números dos outros dois amigos se tiver o 5.

Do ponto de vista da Ana, ter o 1 não lhe dá informação suficiente sobre os números do Bruno e do Carlos: eles poderiam ter um 2 e um 9, ou um 3 e um 8, por exemplo.

Do ponto de vista do Carlos, ter o 6 também não lhe diz o suficiente sobre os números da Ana e do Bruno, porque eles poderiam ter um 2 e um 4, ou um 1 e um 5, por exemplo. Para não falar do facto de que o Carlos não teria maneira de saber qual dos outros dois é que tem o maior dos dois números.

Depois do Bruno dizer que sabe os números de todos, então os outros dois podiam deslindar o raciocínio do Bruno e concluir que também sabem os números dos outros.

Uma solução alternativa passaria por listar todas as combinações possíveis e procurar pela combinação que atribui um número único ao Bruno. Por outras palavras, poderíamos atravessar os números todos de 1 a 12 e perguntar “se o Bruno tivesse este número, de quantas maneiras diferentes é que poderíamos atribuir números à Alice e ao Carlos?”.

Este problema foi retirado desta publicação no Reddit, e foi aqui partilhado com permissão.

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