Este artigo contém a minha solução proposta para o Problema #002 - um saco cheio de números. Por favor não leias esta solução se ainda não tentaste resolver o problema a sério.

Solução

(Se encontrares algum problema na solução, por favor faz-me saber na secção de comentários.)

Não, não há nenhuma configuração inicial nem nenhum conjunto de jogadas que nos permita terminar com o número \(73\) no saco. Repara que \(x \equiv x^3 \mod 2\). Isto é, \(x\) tem a mesma paridade que \(x^3\). Vamos assumir que, num dado momento, os números no saco têm soma \(S\). Vou mostrar que a paridade da soma total não altera quando removemos dois números \(a\) e \(b\) e juntamos o número \(a^3 + b^3\); isto é, a invariante de que eu falei é a paridade da soma total dos números no saco:

\[ x \equiv x^3 \mod 2 \implies S \equiv S - a - b + a^3 + b^3 \iff S + a + b \equiv S + a^3 + b^3 \mod 2\]

Portanto não podemos acabar apenas com o \(73\) no saco, já que a soma inicial é par e \(73\) é ímpar.

Questão bónus: encontra uma solução que ainda funcione caso eu diga que quero acabar com \(2\), \(74\) ou \(308\) no saco. Repara que a minha solução já não funciona porque estes números são pares.

Conseguiste resolver este problema? Achaste fácil?

Artigo anterior Próximo artigo

Blog Comments powered by Disqus.