Vamos provar que, se \(k\) é um número inteiro, então \(\gcd(k, k+1) = 1\), isto é, quaisquer dois inteiros consecutivos são coprimos.

Prova num tweet

Seja \(k\) um número inteiro e seja \(d\) o máximo divisor comum de \(k\) e \(k + 1\). Sabemos que \((k + 1)/d = k/d + 1/d\) e tanto \((k + 1)/d\) como \(k/d\) são inteiros, logo \(1/d\) também é inteiro. Assim sendo, só podemos ter \(d = 1\).

Twitter proof:
Let k be an integer and let d be the greatest common divisor of k and k+1. We have that (k+1)/d=k/d+1/d and both (k+1)/d and k/d are integers, so 1/d must be an integer and we can only have d=1.https://t.co/pItsAnueib

— Mathspp (@mathsppblog) November 14, 2020