Cinco marinheiros e o macaco de estimação naufragam numa ilha deserta, e decidem ir arranjar cocos, que põem numa pilha. Desconfiados uns dos outros, durante a noite cada marinheiro vai à pilha retirar a sua quota parte, sem os outros verem. Quantos cocos havia no início..?

Uma fotografia com alguns cocos, do utilizador "zibik" do site unsplash.com.

Enunciado do problema

Um grupo de cinco marinheiros e um macaco naufragaram numa ilha. Depois de passado o choque inicial, decidiram que deviam reunir mantimentos para os próximos dias. Separaram-se para ir buscar os mantimentos mas só encontraram cocos. Quando se reuniram ao fim do dia, fizeram uma grande pilha com os cocos e foram dormir.

A meio da noite, o primeiro marinheiro - muito desconfiado dos outros - aproximou-se da pilha e tentou dividir o monte em cinco para ficar já com a sua parte. Quando fez a divisão, viu que sobrava um coco e decidiu dar esse coco ao macaco; pegou na sua quinta parte dos cocos restantes e foi dormir.

Um pedaço depois aconteceu o mesmo com o segundo marinheiro: este acordou e, desconfiado dos outros, foi buscar já a quinta parte dos cocos encontrados. Aproximou-se da pilha e, ao fazer a divisão, viu que sobrava um coco, que deu ao macaco. De seguida pegou na sua quinta parte e foi dormir.

Isto repetiu-se com os outros três marinheiros: todos acordaram desconfiados, foram dividir os cocos e todos eles tiveram de dar um coco que sobrava ao macaco.

Qual o número mínimo de cocos que os marinheiros têm de ter reunido e posto na pilha para que isto seja possível?

Pensa um pouco...

Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.

Solução

Para determinar o número de cocos que os marinheiros conseguiram encontrar vamos usar um pouco de aritmética modular.

Vamos chamar \(x\) ao número de cocos que ficou na pilha depois dos cinco marinheiros interferirem com a pilha de cocos. Vamos usar \(x\) para escrever uma expressão que represente o número inicial de cocos e depois vamos usar essa expressão para descobrir o valor de \(x\).

Para tal, vamos analisar as alterações que os marinheiros fizeram à pilha de cocos: o quinto marinheiro pegou num coco, que deu ao macaco, e depois ficou com um quinto dos cocos restantes, deixando um total de \(x\) cocos na pilha. Isto quer dizer que, quando o quinto marinheiro chegou junto da pilha, a pilha tinha exatamente

\[ \frac54 x + 1\]

cocos. Repetindo o processo de multiplicar por \(\frac54\) e somar \(1\), vemos que a pilha tinha

\[ \frac54\left(\frac54 x + 1\right) + 1 = \frac{25}{16}x + \frac94\]

cocos quando o quarto marinheiro chegou junto à pilha, o que quer dizer que quando o terceiro marinheiro foi ver da pilha, esta tinha

\[ \frac54\left(\frac{25}{16}x + \frac94 \right) + 1 = \frac{125}{64}x + \frac{61}{16}\]

cocos. Repetindo estas contas mais duas vezes, vemos que a pilha tinha

\[ \frac54\left(\frac{125}{64}x + \frac{61}{16}\right) + 1 = \frac{625}{256}x + \frac{369}{64}\]

cocos quando o segundo marinheiro chegou junto dela, e exatamente

\[ \frac54\left(\frac{625}{256}x + \frac{369}{64}\right) + 1 = \frac{3125}{1024}x + \frac{2101}{256}\]

cocos quando o primeiro marinheiro foi mexer no monte de cocos, i.e. inicialmente os marinheiros tinham um monte de cocos com

\[ \frac{3125}{1024}x + \frac{2101}{256} = \frac{3125x + 8404}{1024}\]

cocos.

O enunciado do problema diz-nos que o número de cocos inicial era um número inteiro (ou seja, os marinheiros só recolheram cocos inteiros). Isto significa que \(3125x + 8404\) tem de ser um múltiplo de \(1024\), para que a fração em cima seja um número inteiro. Em notação matemática, isto escreve-se

\[ 3125x + 8404 \equiv 0 \mod 1024 ~ .\]

Repara que \(3125 = 53 + 3\times 1024\) e \(8404 = 212 + 8\times 1024\). Se inserirmos estas expressões em \(3125x + 8404\), obtemos

\[ 53x + 3\times 1024x + 212 + 8\times 1024 ~ ,\]

que representa um número que devia ser múltiplo de \(1024\). Os termos que estão a ser multliplicados por \(1024\) já são múltiplos de \(1024\), logo só precisamos de garantir que \(53x + 212\) é um múltiplo de \(1024\). Em notação matemática, este passo intermédio escreve-se

\[ 3125x + 8404 \equiv 53x + 212 \mod 1024 ~ .\]

Isto significa que agora temos uma equação mais simples para resolver:

\[ 53x + 212 \equiv 0 \mod 1024\]

Outra coisa que podemos fazer para simplificar esta equação é reparar que \(53x + 212 = 53(x + 4)\). Precisamos que \(53(x + 4)\) seja um múltiplo de \(1024 = 2^{10}\), ou seja, precisamos que o número \(53(x + 4)\) seja divisível por \(2\) dez vezes. Infelizmente, o número \(53\) não é divisível por \(2\) nenhuma vez, logo é o fator \(x + 4\) que tem de ser divisível por \(2\) dez vezes.

Agora que sabemos que \(x + 4\) é um múltiplo de \(2^{10} = 1024\), e porque sabemos que \(x > 0\) porque \(x\) é o número de cocos no monte final, sabemos que \(x + 4\) está na lista seguinte:

\[ 1024, 2048, 3072, 4096, \cdots\]

ou, por outras palavras, \(x\) está na lista

\[ 1020, 2044, 3068, 4092, \cdots\]

O enunciado do problema pergunta qual é o número mínimo de cocos que a pilha podia ter, portanto temos de escolher o menor número da lista, que é \(x = 1020\). Se \(x = 1020\), então o número de cocos no monte inicial é

\[ \frac{3125\times 1020 + 8404}{1024} = 3121 ~ _\blacksquare\]

Assim, concluímos que \(3121\) é a resposta certa para o problema dos cocos.

Este problema tinha uma solução com mais contas do que os problemas que eu costumo publicar no blogue. O que é que achaste disto? Preferes problemas com mais contas ou com menos contas? Partilha a tua opinião, escrevendo um comentário aqui em baixo.

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