Três números diferentes são atribuídos a três amigos. Consegues descobrir quem recebeu que número?

Fotografia de Danika Perkinson no Unsplash

Enunciado do problema

4 amigos estão a caminhar num bosque, à noite, quando chegam a uma ponte de madeira que têm de atravessar.

Eles decidem que é melhor só passarem 2 de cada vez, porque a ponte parece mesmo frágil. Para além do mais, a ponte está um pouco esburacada, por isso decidem que o mais seguro é se atravessarem sempre com luz a iluminar o caminho. Como os 4 amigos só têm uma lanterna, rapidamente percebem que sempre que duas pessoas passam para o lado de lá, alguém terá de voltar com a lanterna, o que os vai fazer perder algum tempo...

Os 4 amigos querem passar a ponte da forma mais eficiente possível. Como é que o podem fazer, se eles demoram 1, 2, 5 e 10 minutos a atravessar?

Pensa um pouco!

Se precisares de clarificar alguma coisa, não hesites em perguntar na secção de comentários em baixo.

Submissões

Parabéns a todos os que conseguiram resolver o problema e, em particular, aos que me enviaram as suas soluções:

  • Jairo, Brasil;
  • Martin J., República Checa;
  • David H., Taiwan;
  • Gerard M., Irlanda;

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Solução

Se usares um método ganancioso, a resposta que vais obter é 19 minutos.

No entanto, há uma maneira de programar as travessias que permite completar as viagens todas em apenas 17 minutos. Consegues descobrir como o fazer?

Eu vou explicar como se faz, mas para facilitar a minha própria vida, vou referir-me às pessoas pelo número de minutos que demoram a atravessar a ponte.

  • 1 & 2 atravessam (+2);
  • 1 volta (+1);
  • 5 & 10 atravessam (+10);
  • 2 volta (+2); e
  • 1 & 2 atravessam de novo (+2).

Isto só demora 17 minutos! (Há outra combinação semelhante que também só demora 17 minutos, se o 2 voltar sozinho primeiro e o 1 depois.)

Tendo encontrado esta travessia que demora 17 minutos, como é que podemos ter a certeza que não há nenhuma alternativa mais rápida? Podemos testar todas as possíveis combinações de travessias individuais, e ver se todas demoram 17 minutos ou mais. Também podemos raciocinar sobre o problema, e concluir que independemente do que fizermos, acabamos sempre por precisar de 17 minutos ou mais.

Vamos usar a segunda metodologia, em que raciocinamos sobre o problema.

Porque precisamos que a lanterna esteja sempre presente nas travessias individuais, vemos que a ponte tem de ser atravessada um total de 5 vezes. Vamos usar o para representar as pessoas, x para a lanterna e | para a ponte:

  1. duas pessoas atravessam, e ficamos com o o | o o x;
  2. uma pessoa regressa com a lanterna: o o o x | o;
  3. duas pessoas atravessam: o | o o o x;
  4. uma pessoa regressa com a lanterna: o o x | o o; e
  5. as duas pessoas que faltam, atravessam: | o o o o x.

A pessoa 10 não pode ir e voltar, porque isso tomaria logo 20 minutos do nosso tempo. Assim, concluímos que a pessoa 10 só atravessa uma vez.

Agora, vamos raciocinar sobre o momento em que a pessoa 5 atravessa. Das duas, uma: ou a pessoa 5 atravessa com a pessoa 10, ou não.

Se a pessoa 5 não atravessar com a pessoa 10, então as duas travessias individuais já demoram 15 minutos. Ainda faltam 3 travessias individuais e cada uma demora pelo menos 1 minuto, o que significa que a travessia completa demoraria pelo menos 18 minutos, que é mais lento que a travessia de 17 minutos que encontrámos.

Isto significa que a travessia mais rápida de todas é uma travessia em que as pessoas 5 e 10 atravessam juntas, já que:

  • sabemos que há uma travessia de 17 minutos em que elas atravessam juntas; e
  • se elas atravessarem separadamente, a travessia total demora pelo menos 18 minutos.

Agora vamos pensar no momento em que as pessoas 5 e 10 atravessam.

As pessoas 5 e 10 podem atravessar na travessia 1, 3 ou 5. Se a pessoa 5 voltar para trás em algum momento, então vamos demorar imenso tempo de novo:

  • 10 minutos quando as pessoas 5 e 10 atravessam juntas; e
  • 5 minutos quando a pessoa 5 voltar.

Ficam a faltar três travessias individuais, e vemos que tudo junto já vai ultrapassar os 17 minutos. Assim, concluímos que as pessoas 5 & 10 atravessam juntas e que tanto uma como outra só atravessam a ponte uma vez.

Isto significa que elas não podem atravessar na travessia 1, já que uma das duas primeiras pessoas a atravessar tem de voltar para trás.

Isto também significa que elas não podem atravessar juntas na travessia 5, porque isso seria tarde demais: depois da travessia 3, três pessoas diferentes já atravessaram, o que significa que uma das pessoas 5 ou 10 já teria de ter atravessado a ponte, que é algo que não pode acontecer.

Logo, as pessoas 5 e 10 atravessam juntas na travessia 3.

Para isso ser possível, as pessoas 1 e 2 atravessam juntas primeiro, e depois uma das duas volta para trás.

Depois, para a travessia 3, as pessoas 5 e 10 atravessam a ponte. De seguida, para a travessia 4, alguém tem de voltar com a lanterna. Esse alguém não será nem a pessoa 5 nem a 10, logo é a outra pessoa que foi para aquele lado da ponte na travessia 1. Se a pessoa 1 foi a pessoa que voltou para trás primeiro, então agora voltaria a pessoa 2. Se a pessoa 2 foi a pessoa que voltou para trás primeiro, então agora voltaria a pessoa 1.

Em qualquer um dos casos, vemos que tanto a pessoa 1 como a 2 têm de voltar para trás sozinhas, nas travessias 2 e 4. No fim de tudo, voltam a atravessar juntas na travessia 5.

Isto mostra que a melhor combinação que podemos fazer é a que apresentei no início, e que demora 17 minutos.

Isto fez sentido? Se tiveres questões, coloca-as na secção dos comentários!

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